۲ - تمرین جبر

جبر، ریاضی بدون اعداد است. توی ریاضی، سوال ممکنه این باشه که شما ۳ + ۵ رو حل کنید اما توی جبر ازتون میخوان که y = 3x + 3 رو حل کنید که توش y و x متغیر هائی هستن که عدد های مختلفی رو میگیرن. بسیاری از فرمول های بایومکانیک، شامل متغیر هستن، پس این بخش مروری داره بر مهارت های ساده و اصطلاحات مهم، برای استفاده از جبر برای حل مساله.

دنبال کردن ترتیب عملیات

چهار عمل ریاضی، علاوه (+)، تفریق (-)، ضرب (. یا x)، و تقسیم (/ یا ÷) هستن. خیلی وقتا چون ترتیب این عملیات رو نمیدونیم، معادله رو نمیتونیم حل کنیم، .

معادله زیر رو در نظر بگیرید که توش، x شامل همه عملیات مورد نیاز شما تو بایومکانیکه:

این قوانین مشخص میکنن که با چه ترتیبی باید انجام بشن:

همه چیز های داخل پرانتز رو یکی در نظر بگیرید، و اول این هارو حل کنید.

توان ها (توان و جذر) را بعدش انجام بدید.

همیشه ضرب و تقسیم رو قبل از جمع و تفریق انجام بدید، از چپ به راست حرکت کنید.

ترتیب عملیات رو میتونین با کلمه پتضتجت حفظ کنید، پ یعنی پرانتز، ت یعنی توان (توان و رادیکال)، ض یعنی ضرب، ت برای تقسیم، ج برای جمع، ت برای تفریق. اره قبول دارم، وقتی به فارسی برمیگردونی، اصلا قابل حفظ کردن نیس.

۱. همه محاسبات داخل پرانتز رو انجام بدید.
از چپ به راست، اولین پرانتزی که میبینیم، (2² - 12) هست، اما صبر کنید! این پرانتز، یه عامل توانی هم داره و خودش هم داخل رادیکاله. اما فعلا ازش رد میشیم و به سمت راست حرکت میکنیم.
ست بعدی پرانتز ها (1 + 5 ÷ 10 . 3 + 7) هست. داخل این پرانتز هم، چندتا چیز هست که باید حساب بشن. خب پس بعد از حرکت از چپ به راست، اولین چیزی که میبینیم، علامت + هست که میتونیم ازش رد شیم. علامت بعدی . هست. پس رو این کار میکنیم: 30 = 10 . 3 که الان میشه (1 + 5 ÷ 30 + 7).
ادامه حرکت به سمت راست، علامت بعدی ÷ هست، پس 6 = 5 ÷ 30 و حالا داریم 1 + 6 + 7 که نهایتا داخل پرانتز عدد ۱۴ رو داریم. حالا فرمول این شکلیه:

 ۲. همه عوامل توانی رو حل کنید (توان و رادیکال)
از چپ به راست، اولین عامل توانی زیر رادیکال، چندتا کار باید انجام بدیم. طبق فرمولی که داشتیم، باید اول با پرانتز شروع کنیم (2² - 12). اول باید اینو حل کنیم. خوب ۲ به توان ۲ میشه ۴ و توی پرانتز میشه 4 - 12 که جواب ۸ ه. یه ۸ دیگه هم بیرون پرانتز هست که در کل زیر رادیکال میشه 8 + 8 که ۱۶ است. رادیکال ۱۶ هم که ۴ ه.
حالا فرمول این شکلیه:

۳. همه ضرب هارو حساب کنید.
از چپ به راست، اولین ضربی که میبینیم (۴)۵ هست که میشه ۲۰. دومی، ۳ . ۴ هست که میشه ۱۲ و سومش (۱۴)۳ که میشه ۴۲. حالا فرمول این شکلیه:

۴. همه تقسیم هارو حل کنید.
از چاپ به راست، اولین تقسیم، ۲ ÷ ۱۲ هست که میشه ۶. بعدیش هم ۲۸/۷ ه که میشه ۴. حالا فرمول این شکلیه:
42 + 4 + 6 + 20 = x

۵. مجموع رو حل کنید.
حالا دیگه ساده شد. 72 = x

تعریف چند عملیات ریاضی

وقتی دارید مسائل ریاضی بایومکانیکی رو حل میکنید، به کلمه های مثل مجموع، تفاوت، مضرب و خارج قسمت بر میخورید که لازمه معنی شون رو بدونید تا بتونید مساله رو درست حل کنید.

مجموع

مجموع، مقداری هست که خودش از جمع کردن مقادیر دیگه به دست اومده. مثلا، 12 = 2 + 10، که ۱۲ مجموع ۱۰ و ۲ هست. اینم یه مثال دیگه، a = c + b یا a، مجموع b و c هست.

تفاوت

تفاوت، از کم کردن دیگر مقادیر به دست میاد. مثلا 8 = 2 - 10 یا ۸ تفاوت ۱۰ و ۲ هست.

مضرب

مضرب، مقداریه که از ضرب کردن بقیه مقادیر به دست میاد. مثلا، 20 = 2 . 10 که در واقع ۲۰، مضربی از ۱۰ و ۲ هست.

خارج قسمت

اینم، نشون دهنده تقسیم مقادیر دیگه هست. مثلا، 5 = 2 ÷ 10 که توش ۵، در واقع خارج قسمت ۱۰ و ۲ است.

منزوی کردن یک متغیر

با در نظر گرفتن فرمول 7 + 6 = x، حل کردن x خیلی ساده میشه. همین دو تا عدد رو باید با هم جمع کنید تا مساوی x بشه. محاسبه x همیشه هم به این سادگی نیست. این یکی رو در نظر بگیرید:

14 . 7 + 9 = 2 - 5x + هشت 

تو همچین موقعیتی باید اولین x رو منزوی کنید. این کار رو با جابجایی عبارت ها انجام میدید (بردن عبارت ها به طرفی که علامت شان یکی باشه).

برای جابجایی یک عبارت، باید دو طرف = رو مخالف-علامت بدونید. مثلا تو فرمول بالا، برای جابه جائی هشت، از هر دو طرف، هشت واحد کم میکنید. برای جابجایی 2-، باید به هر دو طرف ۲ واحد اضافه کنید.و برای جابجایی 5x، هر دو طرف رو بر ۵ تقسیم میکنید. بعد از همه این کار ها، x، منزوی میشه.

به شکل ریاضیاتی، قدم ها به این شکل هستن:

هر وقت، یه عبارت رو جابجا میکنید، عملیاتی که در یک طرف علامت = انجام میدید، در طرف دیگر هم باید انجام بدید.

بعضی وقتا تو بایومکانیک، شما میتونین از یه فرمول خاص برای حل یک مساله استفاده کنین. مثلا، فرمول v² = u² + 2ap، سرعت نهایی بدن را حساب میکند (v) که بر اساس سرعت اولیه (u)، شتاب (a) و جابجایی اش است (p). این فرمول را در فصل ۵ بیشتر توضیح میدهم. اگر مقادیر ۳ عبارت دیگر (به آنها مقادیر شناخته میگویند) در مساله داده شود، میتونین مقدار ۴م را حساب کنید (مقدار نا شناخته).
در اینجا ازتون خواستن که v رو حل کنید (از قبل، سمت چپ معادله بوده)، اما در کل، شما باید مقدار ناشناخته رو منزوی کنید و مقادیر شناخته شده رو وارد و معادله رو حل کنید. مثلا اگه مقدار ناشناخته p باشه (جابجایی)، روندی که گفتم اینه که p رو منزوی کنید. اول u² رو از دو طرف کم کنید. که به این میرسید:
v² - u² = 2ap
سپس برای جابجایی 2a، هر دو طرف رو بر 2a تقسیم کنید که به این میرسید:

وقتی p منزوی شد میتونین مقادیر داده شده رو جای v، u، و a بگذارید و مقدار p رو حساب کنید.

تفسیر متناسب

توی ریاضی، متغیر ها متناسب با هم تغییر میکنن. بنابرین دو تا قانون تفسیر متناسب اینا هستن:

وقتی زیاد شدن یک متغیر سبب زیاد شدن دیگری میشه، متغیر ها مستقیما متناسب اند و این جوری نوشته میشه y = x. اگه x مقدارش ۲ باشه، y هم ۲ هست.

وقتی زیاد شدن یک متغیر، سبب کاهش یک متغیر میشه، این دو تا به صورت عکس، متناسب اند و معمولا به صورت y = 1 / x نوشته میشه. اگه x مساوی ۲ باشه، y مقدارش، نیم هست.

فرمول F = ma رو در نظر بگیرید (بیانیه ساده یکی از قوانین مکانیک که به قانون دوم نیوتون معروفه و توی فصل ۶ در موردش حرف میزنیم). با منزوی کردن a، فرمول این شکلی میشه: 

a = F / m

مفاهیم سمت راست فرمول (F و m) متناسب با a هستند و هردوشون، اندازه a رو تحت تاثیر قرار میدن.

با استفاده از قوانین بالا، a مستقیما متناسبه با F. اگه m یه مقدار ثابت باشه (مثلا ۱۰)، اگه F بزرگ تر بشه، a هم بزرگتر میشه. اگه F مقدارش ۲۰ باشه، اون وقت a هم ۲ هست. اگه F، سی باشه، اون وقت a هم ۳ هست.

در مقابل، a به صورت برعکس با m متناسبه. اگه F ثابت باشه (مثلا ۱۰۰)، اگه m بزرگ شه، a کم میشه. اگه m مساوی ۲۰ باشه، a برابر ۵ هست و اگه m مقدارش ۱۰۰ باشه، اون وقت m هم ۱ میشه.