۳ - گشتن دنبال وتر

چند اصول اساسی هندسه توی بایومکانیک به کار میرن. مثلث قائم الزاویه، شکلی مهم توی حل کردن مسائل بایومکانیکه، چون رابطه بین طول ها میتونه توی کار با بردار ها کمک کننده باشه.

شکل ۲-۲ یه مثلث قائم الزاویه رو نشون میده، که یکی از زاویه هاش ۹۰ درجه ست که با یه مربع کوچیک تو اون زاویه مشخص میشه.

یک مثلث قائم الزاویه 

سمت روبروی زاویه ۹۰ درجه، وتر نام داره که همیشه بلندترین سمت مثلثه.

تو همه مثلث ها، جمع زوایا، ۱۸۰ درجه است. پس جمع دو زاویه دیگه توی مثلث قائم الزاویه، ۹۰ درجه است. زاویه کمتر از ۹۰ درجه، حاد نام داره.

تو شکل ۲-۲، یکی از زاویه های حاد، به عنوان مرجع انتخاب شده که با علامت یونانی تتا مشخص شده. سمت روبروی تتا، مخالف نامیده میشه و سمت بغل تتا، مجاور.

قدم اولیه برای انتخاب یکی از زوایا به عنوان مرجع و نامیدن سمت مجاور و مخالف، قدم مهمی برای حل مسائل بایومکانیکه. وتر هیچ وقت تغییر نمیکنه، ولی سمت مجاور و مخالف میتونه تغییر کنه و بستگی داره که تتا رو کجا انتخاب کنید.

استفاده از قضیه فیثاغورس 

قضیه فیثاغورس، طول سه سمت یک مثلث قائم الزاویه رو به هم مرتبط میکنه. با استفاده از اسامی که استفاده شده از شکل ۲-۲، این قضیه رو این شکلی مینویسیم: مجاور به توان ۲ به اضافه مخالف به توان ۲ مساوی با وتر است یا O² + A² = H² 

قضیه فیثاغورس برای همه مثلث های قائم الزاویه صدق میکند.

فرم آشنای  قضیه فیثاغورس به صورت a² + b² = c² است.

وقتی طول دو سمت یک مثلث قائم الزاویه معلوم باشه، از قضیه فیثاغورس برای حساب کردن سمت نا معلوم استفاده میکنن. مثلا اگه سمت مخالف ۳۰ متر باشه و سمت مجاور، ۴۰ متر، وتر رو این جوری حساب میکنن:

۱. مقادیر مشخص رو مشخص و یک جدول متغیر تشکیل بدید.

درست کردن این جدول، قدم مفیدی توی حل مساله است. اینجا:

وتر = نا معلوم

مخالف = ۳۰ متر

مجاور = ۴۰ متر

۲. بر اساس متغیری که میخواهید حل کنید، یک فرمول مناسب رو انتخاب کنید.

اینجا، فرمول مناسب، قضیه فیثاغورس هست.

۳. مقدار نا معلوم رو منزوی کنید و مقادیر معلوم رو جایگزین کنید.

مقدار نا معلوم، H هست، پس برای منزوی کردنش، باید دو طرف رو زیر رادیکال ببریم:

طول وتر، ۵۰ متره.

خوبه که مراحلی که برای حل معادله طی کردید رو نشون بدین. اگه جوابتون غلط باشه، راحت تر میتونین برگردید عقب و اشتباهتون رو تصحیح کنید. من این روند مرحله-به-مرحله رو تو طول بلاگ در پیش گرفتم و به شما هم پیشنهاد میکنم همین کار رو بکنید.


صفحه ۲۵ و ۲۶


حقه های مثلثاتی
مثلثات یک رشته از ریاضی است که رابطه بین طرف و زاویه مثلثات را شرح میده. مثل قضیه فیثاغورس، بهتون اجازه میده تا طول نا معلوم یک مثلث قائم الزاویه رو حساب کنید. توابع مثلثاتی، جعبه ابزار شما برای کار با مثلث های قایم الزاویه هستند.

تعریف توابع مثلثاتی
توابع مثلثاتی رابطه بین دو سمت یک مثلث قائم الزاویه رو مشخص میکنه. اینها دو تا مقدار قابل اندازه گیری هستن که به این شکل نوشته میشن: 
رابطه یا نرخ = یک اندازه گیری تقسیم بر اندازه گیری دیگر
یا برای مثلث قائم الزاویه:
تابع مثلثاتی = طول یک سمت تقسیم بر طول دیگر
این رابطه ها، توابع مثلثاتی نامیده میشن چون رابطه بین طول های یک مثلث قائم الزاویه، به اونا بستگی داره، یا تابع اندازه یک زاویه حاد خاص هستن.
سه تابع مثلثاتی مورد علاقه، سینوس، کسینوس، و تانژانت هستن. شکل ۲-۲ رو یه باره دیگه نگاه کنید تا توابع مثلثاتی رو بر اساس اون بهتون بگم:

هر تابع مثلثاتی، رابطه بین دو سمت یه مثلث قائم الزاویه به صورت تابعی از زاویه تتا میگن. مثلا در مورد سینوس، میشه گفت که سینوس تابع، رابطه بین سمت مخالف و وتر رو به عنوان تابعی از زاویه تتا، مشخص میکنه. رابطه بین سمت مخالف و وتر، همیشه برای یک زاویه، یکیه و فرقی نمیکنه که تلاشن چقدر باشه. برای باقی توابع هم این موضوع صدق میکنه.
میتونین این سه تابع مثلثاتی رو به صورت SOH, CAH, TOA حفظ کنید.

استفاده از توابع مثلثاتی برای محاسبه طول
یک قائم الزاویه با وتر ۱۵ متری و یک زاویه حاد ۷۴ درجه در شکل ۳-۲ نشان داده شده. برای محاسبه سمت مجاور و مخالف، این مراحل را طی کنید:

طول سمت های مخالف و مجاور را میتوان با توابع مثلثاتی حساب کرد

۱. مقادیر معلوم رو مشخص و یک جدول متغیری درست کنید.
تتا = ۷۴ درجه
وتر (H) = پانزده متر
سمت مجاور = نا معلوم

۲. تابع مثلثاتی برای استفاده رو مشخص کنید.
SOH CAH TOA رو یادتونه؟ بینیم هر کدوم چی لازم دارن.
SOH به زاویه تتا احتیاج داره، که میدونین، همچنین وتر که اونم میدونین و سمت مخالف که نمیدونین. پس از SOH نمیشه استفاده کرد.
CAH به زاویه تتا، وتر احتیاج داره که اینارو میدونین، و همچنین سمت موافق که اونو نمیدونین، پس کوسینوس هم تابع مثلثاتی درست نیست.

۳. تابع انتخاب شده رو بسط بدین، مقدار نامشخص رو منزوی کنید و حل کنید.

میدونین که کوسینوس تتا موسوی سمت مجاور تقسیم بر وتره و مقدار نامشخص، سمت مجاوره، پس باید منزویش کنیم:
سمت مجاور = کوسینوس تتا ضرب در وتر = کوسینوس ۷۴ درجه ضرب در ۱۵ متر
خوب حالا ماشین حسابتونو در بیارید و ۷۴ رو بزنین توش و دکمه کوسینوس رو بزنید. مقدارش ۰/۲۷۵۶ که باید اونو گرد کنید به ۰/۲۸.
مطمئن باشد که ماشین حساب داره حالت زاویه ای درست رو حساب میکنه. بیشتر ماشین حساب ها هم درجه رو حساب میکنند و هم رادیان. وقتی دکمه MODE رو میزنید، بهتون میگه که داره درجه رو حساب میکنه یا رادیان. مقدار کوسینوس ۷۴ درجه رو توی فرمول قرار بدید:
سمت مجاور = ۰/۲۸ ضرب در ۱۵ متر = ۴/۲ متر
طول سمت مجاور، ۴/۲ متره.

برای محاسبه سمت مخالف، مرحله های مشابه رو طی کنید:
۱- مقادیر معلوم رو مشخص و جدول متغیر هارو درست کنی.
تتا = ۷۴ درجه
وتر (H) = پانزده متر
سمت مخالف = نا معلوم

۲. تابع مثلثاتی برای استفاده رو مشخص کنید.
اول، SOH CAH TOA رو به یاد بیارید و تابع مناسب رو انتخاب کنید.
SOH به زاویه تتا و وتر احتیاج داره که شما میدونید و همچنین سمت مخالف که نمیدونید. پس سینوس، تابع  مورد نظره.

۳. تابع انتخاب شده رو بسط بدین، مقدار نامشخص رو منزوی کنید و حل کنید.

میدونین که سینوس تتا = سمت مخالف تقسیم بر وتر، و مقدار نامعلوم، سمت مخالفه، پس باید منزویش کنید:

سمت مخالف = سینوس تتا ضرب در وتر = سینوس ۷۴ درجه ضرب در ۱۵ متر = ۰/۹۶ ضرب در ۱۵ متر = ۱۴/۴ متر

طول سمت مخالف. ۱۴/۴ متره.

میتونین چک کنید که طول هایی که حساب کردین، درستن یا نه. کافیه بذاریدشون توی قضیه فیثاغورس A² + O² = H²

۴/۲ به توان ۲ + ۱۴/۴ به توان ۲ = ۱۵ به توان ۲

۱۷/۶ + ۲۰۷/۴ = ۲۲۵

۲۲۵ = ۲۲۵

نامگذاری درست سمت های مثلث قائم الزاویه مهمه. اگه برعکس باشن، اندازه ها درست میشن اما به سمت های متفاوت ربط پیدا میکنن.

توی بایومکانیک، تابع تانژانت کمتر از سینوس و کوسینوس استفاده میشه. دیگه مثالشو نمیزنم اما روندش مثل سنون و کوسینوسه.

استفاده از آرک تانژانت برای حل کردن زاویه تتا
بعضی وقتا، شما مقدار سمت مجاور و مخالف رو میدونین، اما مقدار وتر و زاویه تتا رو نمیدونین. تو شکل ۴-۲ یه نمونه رو میبینید.

تابع آرک تانژانت برای حساب کردن زاویه تتا استفاده میشه.

تو این مثال، میتونین طول وتر رو با  قضیه فیثاغورس حساب کنید

وقتی سمت های مجاور و مخالف رو میدونین، با یه تابع مثلثاتی به اسم آرک تانژانت، میتونین زاویه تتا رو حساب کنین. این تابع، به تانژانت برعکس هم مشهوره. واسه این بهش میگن برعکس، چون مقادیر دو سمت که معلوم باشن، از رابطه شون برای حساب کردن تتا استفاده میشه. (اما توی سینوس و کوسینوس، زاویه معلومه و هدف، معلوم کردن سمت مخالف یا مجاور ه).

فرمول آرک تانژانت اینه:

تتا = آرک تانژانت (سمت مخالف تقسیم بر موافق)

به این فرمول اینجوری نگاه کنید: چه زاویه ای، تابع تانژانتش، مساوی سمت مخالف، تقسیم بر سمت موافقه؟ (توجه کنید که نسبت سمت مخالف به مجاور، برابر تانژانته)

برای محاسبه زاویه تتا، این قدم هارو برید:

۱. مقادیر معلوم رو مشخص و جدول متغیر هارو درست کنید.

تتا = نامعلوم

سمت مجاور (A) = دویست و هفتاد متر

سمت مخالف (O) = صد و هشتاد متر

۲. تابع آرک تانژانت رو انتخاب و مقادیر و جایگزین کنید.

تتا = آرک تانژانت (مخالف تقسیم بر موافق)

تتا = آرک تانژانت (۱۸۰ بر ۲۷۰)

تتا = آرک تانژانت (۰/۶۷)

برای استفاده از ماشین حسابتون، ۰/۶۷ رو وارد و دکمه ATAN رو بزنین. مقدار ۳۳/۸ باید ظاهر بشه. اگه مقدار نمایشی ۰/۵۹ بود، شما تو حالت رادیان هستین. زاویه تتا، ۳۳/۸ درجه است که زاویه بین وتر و سمت موافق مثلث قائم الزاویه است.