۴ - رام کردن مقادیر برداری

مقدار، چیزی است که بشه اندازه اش گرفت. توی بایومکانیک، دو نوع مقدار، مهم هستن:

عددی: یه مقدار عددی، هر چیزیه که بشه با قدر، اندازه یا مقدارش توضیحش داد. مقادیر عددی شامل زمان، جرم، فاصله و اسپید هستن. یه عدد خاص برای اندازه گیری هر واحد، استفاده میشه. مثلا زمان = ۸ ثانیه (یا s)، جرم = ۷۵ kg، فاصله = ۲ m، یا اسپید = ۲۰ متر بر ثانیه (m/s). 

برداری: یه مقدار برداری رو فقط با قدر و جهتی که با ان مقدار مرتبطه اندازه میگیرن. مقادیر برداری شامل، نیرو، جابجایی، سرعت و شتاب میشن. مثلا، نیرو = ۲۰ نیوتون (یا N)، سرعت = ۵ متر بر ثانیه در زاویه ای ۲۰ درجه ای، یا شتاب = ۱۰ متر بر مجذور ثانیه به سمت پایین.

یه مقدار برداری رو با یه فلش نشون میدن. مقدار بردار، طولشه و جهتش هم از نوک بردار مشخص میشه.

بردار ها در یک سیستم دلخواه مختصاتی، با یه محور x و یه محور y (که بهش میگن، سیستم مختصاتی xy) کشیده میشن. شکل ۵-۲، نشون دهنده جابجایی یه بردار ۵ متری با زاویه ۴۰ درجه ای روی سیستم  مختصاتی xy هست. ۴۰ درجه رو از سمت راست افق اندازه میگیرن (مگه اینکه خودهسون مشخص کرده باشن). بعضی وقتا فقط یه قسمت از سیستم مختصاتی نشون داده میشه (مثل قسمت وسط شکل ۵-۲)

شکل ۵-۲: نمایش برداری جابجایی ۵ متری در زاویه ۴۰ درجه

سیستم مختصاتی رو با هر مبدایی که معنی دار باشه، توضیح داده میشه. مثلا، وقتی با بدن انسان سروکار داریم، سیستم  مختصاتی روی مفصل مورد نظر منظور میشه که محور y روی محور بلند استخوان و محور x از استخوان میگذاره. در همه صورت ها، جهت x و y وقتی سیستم مختصاتی شکل میگیره، باید گفته بشه.

کشیدن بردار ها روی سیستم مختصاتی نشون میده که بردار ها دو بخش دارن که تو ۹۰ درجه ای ه هم هستن. بخش های یک جابجایی ۵ متری، در قسمت راست شکل ۵-۲ نشون داده شدن. بردار اصلی (۵ متری در زاویه ۴۰ درجه)، بردار حاصل نام داره، چون نتیجه ترکیب دو بخشه. دو بخش بردار، بخش افقی و عمودی نام دارن.

حل و فصل یک بردار

یه ابزار مهم در بایومکانیک، محاسبه مقدار دو بخش یک برداره که بهش میگن، حل و فصل یه بردار یا تحلیل بردار.

حاصل بردار و دو بخش اون یه زاویه قائم الزاویه رو میسازن. چون اینجا مثلث قائم الزاویه درست میشه، از توابع مثلثاتی که قبلا براتون توضیح دادم، میشه برای حل بردار استفاده کرد.

شکل ۶-۲ حاصل الجمع یه بردار ۵ متری تو زاویه ۴۰ درجه رو با دو بخشش رو نشون میده. بردار وتر (حاصل الجمع، همون وتره). بخش افقی، سمت موافق و بخش عمودی، سمت مخالفه.

شکل ۶-۲: حل یک بردار با دو بخش آن

برای محاسبه طول بخش افقی، این مراحل رو طی کنید:

۱. مقادیر مشخص رو معلوم و جدول متغیر هارو تشکیل بدین.

تتا = ۴۰ درجه

وتر (H) = بردار حاصل = ۵ متر

سمت موافق (A) = بخش افقی = نامعلوم

۲. از روند حذف، برای انتخاب تابع مثلثاتی استفاده کنید.
میتونین SOH رو حذف کنین چون سمت مخالف رو نمیدونید. CAH به زاویه تتا و وتر احتیاج داره که میدونین، و سمت موافق که میخواهید پیداش کنید. کوسینوس رو به عنوان تابع مثلثاتی انتخاب کنین.

۳. تابع انتخاب شده رو بسط بدین، مقدار نامعلوم رو منزوی کنین و مساله رو حل کنین.
میدونین که کوسینوس تتا = موافق تقسیم بر وتر، و مقدار نامعلوم هم سمت موافقه، پس اونو منزوی میکنیم.
موافق = کوسینوس تتا ضرب در وتر = کوسینوس ۴۰ درجه ضرب در ۵ متر = ۰/۷۷ ضرب در ۵ متر = ۳/۸ متر
سمت موافق یا بخش افقی، ۳/۸ متره.

حالا طول بخش عمودی (سمت مخالف) رو حساب میکنیم:
۱. مقادیر معلوم را مشخص و جدول متغیر ها را تشکیل بدین.
تتا = ۴۰ درجه
وتر (H) = بردار حاصل = ۵ متر
سمت مخالف (O) = بخش عمودی = نامعلوم

۲. از روند حذفسازی برای انتخاب تابع مثلثاتی استفاده کنین.
SOH به تتا و وتر احتیاج داره که میدونینشون و همچین سمت مخالف که میخواهید پیداش کنید. سینوس رو به عنوان تابع مثلثاتی انتخاب کنین.

۳. تابع مثلثاتی انتخابی رو بسط بدین، مقدار نامعلوم رو منزوی و مساله رو حل کنید.
میدونین که سینوس تتا = مخالف تقسیم بر وتر، و چون سمت مخالف رو نمیدونیم، باید منزویش کنیم.
مخالف = سینوس تتا ضرب در وتر = سینوس ۴۰ درجه ضرب در ۵ متر = ۰/۶۴ ضرب در ۵ متر = ۳/۲ متر
سمت مخالف یا بخش امیدی، ۳/۲ متره.

قدم های مشابه برای حل برداری استفاده میشن. نکته کلیدی اینه که بردار حاصل رو به صورت وتر یه مثلث قائم الزاویه ببینید و بخش های مختلف رو درست نامگذاری کنید و سمت های موافق و مخالف رو بر اساس زاویه تتای مرجع علامت گذاری کنید.

ساختن بردار

یکی دیگر از ابزار های مهم در بایومکانیک، حساب کردن مقدار و جهت بردار حاصل، با استفاده از دو بخش سازنده آن است. به این میگن ساختن یک بردار. تو این بخش، بهتون نشون میدم که چجوری یه بردار حاصل رو با یه نیروی افقی ۲۰ نیوتونی و یه نیروی عمودی ۱۰۰ نیوتونی وارده بر بدن حساب کرد.

چون هر دو نیرو همیشه تو ۹۰ درجه ای هم عمل میکنن، بردار حاصل و دو بخشش رو میشه مثل یه مثلث قائم الزاویه در نظر گرفت (توی شکل ۷-۲ نشون داده شده). توی A، دو بخش بردار های نیرو نشون داده شدن. توی B، خطوط موازی و مساوی دو بخش افقی و عمودی کشیده شدن تا مثلث قائم الزاویه رو بسازن. توی C، یه خط مورب توی اون مستطیل کشیده شده تا دو تا مثلث قائم الزاویه بسازه. توی D، یکی از مثلث های قائم الزاویه منزوی شده و سمت هاش، نامگذاری شدن. خط مورب مستطیل، همون وتره که بردار حاصل دو بخش نیروه.زاویه حاصل، با تتا مشخص شده و دو بخش با نام های مخالف و مجاور نامگذاری شدن. چون یه مثلث قائم الزاویه درست شده، قضیه فیثاغورس و تابع مثلثاتی آرک تانژانت رو میشه توش استفاده کرد.

۲-۷: ساختن بردار حاصل بوسیله دو بخش آن

مقدار نیروی حاصل (وتر) رو با قضیه فیثاغورس حساب میکنیم:
۱. مقادیر معلوم رو مشخص و جدول متغیر هارو تشکیل بدین.
وتر (H) = نیروی حاصل = نامعلوم
سمت مخالف (O) = بخش عمودی = ۱۰۰ نیوتون
سمت مجاور (A) = بخش افقی = ۲۰ نیوتون

۲. فرمول را انتخاب، مقدار نامعلوم را منزوی، و مقادیر معلوم را جایگزین کنید.

مقدار نیروی حاصل (وتر)، ۱۰۲ نیوتون ه.
زاویه تتا، جهت نیروی حاصل رو با آرک تانژانت حساب کنید:
۱. مقادیر معلوم رو انتخاب و جدول متغیر هارو مشخص کنید.
تتا = نامعلوم
سمت مجاور (A) = نیروی افقی = ۲۰ نیوتون
سمت مخالف (O) = نیروی افقی = ۱۰۰ نیوتون

۲. فرمول آرک تانژانت رو انتخاب، مقادیر داده شده رو جایگزین، و حل کنید.
تتا = آرک تانژانت (مخالف تقسیم بر مجاور)
تتا = آرک تانژانت (۱۰۰ تقسیم بر ۲۰)
تتا = آرک تانژانت ۵
تتا = ۷۸/۷ درجه

زاویه تتا، ۷۸/۷ درجه است. این جهت نیروی حاصله.
نیروی حاصله، ۱۰۲ نیوتونه که در زاویه ۷۸/۷ درجه ای اعمال میشه.