۵ - حرکت پرتابه

یه بازیکن بسکتبال و یه دایور چه چیز مشترکی دارن؟ هردوشون پرتابه میشن. یه پرتابه، یه بدنه که پرتاب میشه یا تو هوا میوفته. برای پرتابه شدن، بدن نباید در تماس با بدن دیگه باشه. جاذبه (فصل ۴ رو ببینید) تو جهت عمودی عمل میکنه و سبب ایجاد شتاب -۱۰ m/s/s (به طرف پایین) میشه. اگه مقاومت هوا رو نادیده بگیریم (فصل ۹ رو ببینید)، شتاب تو جهت افقی، ۰ m/s/s هست.

مقدار g، یا شتاب جاذبه، در واقع -۹/۸۱ m/s/s هست. اما من از -۱۰ m/s/s برای راحتی محاسبه استفاده میکنم (شتاب جاذبه ای از وزن یه بدن، تو فصل ۴ توضیح داده شده).

شکل ۶-۵ یه توپ رو نشون میده که تو هوا شوت شده. توپ از لحظه ای که پای شوت کننده رو ترک میکنه تا زمانی که به زمین میرسه، پرتابه حساب میشه. یه شلجم, یه U وارونه ست و این شکل مسیر پرواز واسه این درست میشه که پرتابه، همزمان هم در جهت عمودی و هم افقی حرکت میکنه. شکل ۶-۵ چندتا از ویژگی های مسیر شلجمی توپ رو وقتی شوت میشه میگه:

v_TO: سرعت در تیک آف، یا توپ، در لحظه ای که تبدیل به پرتابه میشه، چقدر سریع و در چه جهتی (θ) حرکت میکنه. v_TO سرعت حاصل تپه، و بخش های v_v برای سرعت عمودی و v_h برای سرعت افقی میشه ازv_TO با توابع مثلثاتی نشات بگیرن (فصل ۲ رو ببینید).

h_release: ارتفاع رهایی یا اینکه توپ وقتی تبدیل به پرتابه میشه, چقدر بالا میره.

h_flight: جابجایی عمودی توپ وقتی رها میشه تا زمانی که دیگه بالا نره, وقتی v_v مساوی صفرمیشه.

h_peak: ارتفاع پرتابه در پیک مسیر شلجمی ای که داره طی  میکنه. اگه یه بدن بیوفته, h_peak میشه جایی که از انجا بدن افتاده.

پیک ارتفاع, ارتفاع بالای سطح زمینه. این ارتفاع جمع مقادیری هست که که توش بدن بعد از پرتاب به بالا میره (h_flight) و h_release که ارتفاعی بالای زمین هست که بدن تبدیل به پرتابه میشه.

v_vpeak: سرعت عمودی در h_peak. از انجایی که پرتابه دیگه به بالا نمیره و هنوز شروع به پایین اومدن نکرده, v_vpeak همیشه صفر ه.

h_contact: ارتفاع تماس, یا بدن چقدر بالا میره وقتی حرکتش به عنوان پرتابه تموم میشه. اگه پرتابه روی زمین فرود بیاد, h_contact مساوی صفره.

t_air: مدت زمان در هوا بودن. طولانی ترین زمان در هوا بودن از لحظه تیک آف تا زمانی که بدن, یه بدن دیگه رو لمس کنه. t_air جمع t_up, از لحظه تیک آف  تا پیک ارتفاع و t_down, از پیک ارتفاع تا پایان حرکت پرتابه ست.

دامنه: جابجایی افقی پرتابه زمانی که تو هواست.

شکل ۶-۵: مشخصات مسیر شلجمی دنبال شده توسط یک پرتابه

میتونم از فرمول های شتاب ثابت برای توضیح مسیر شلجمی یا U وارونه بدن در حالی که هنوز یه پرتابه حساب میشه، است. وقتی با حرکت پرتابه ای کار میکنیم، چند تا چیز رو برای حساب کردن باید مد نظر داشته باشیم. برای نشون دادن این مراحل، فرض میکنیم که v_TO مساوی ۲۶ متر بر ثانیه ست و تو زاویه ۵۵ درجه ای داره اعمال میشه و h_release هم ۰/۷ متره. مراحل رو برای حساب کردن حرکت عمودی (توپ چقدر بالا میره، چقدر طول میکشه که برسه به پیک ارتفاعش و چقدر طول میکشه تا برسه به زمین)، دامنه یا جابجایی افقی توپ توضیح میدم.

اول، v_TO مساوی ۲۶ متر بر ثانیه در زاویه ۵۵ درجه ای رو با توابع مثلثاتی، به v_V و v_H بشکنید (فصل ۲):

۱- با کشیدن v_TO و بخش هاش، v_v و v_h شروع کنید (شکل ۷-۵ رو ببینید).

من معمولا v_V رو اول حل میکنم، یادتون باشه که v_V، سمت مخالف مثلثه.

شکل ۷-۵: بخش های v_V و v_H از v_TOه

۲- جدول متغیر ها رو تشکیل بدین، و ازش برای انتخاب تابع مثلثاتی استفاده کنید.

θ = پنجاه و پنج درجه

وتر = v_{TO مساوی ۲۶ متر بر ثانیه}

مخالف =  v_V، نامعلوم

۳- از SOH CAH TOA و سینوس تتا مساوی مخالف بر وتر، استفاده کنید، مقدار نامعلوم یا سمت مخالف رو منزوی کنید، مقادیر معلوم رو جایگزین و حل کنید.

مخالف = وتر ضرب در سینوس تتا = ۲۶ متر بر ثانیه ضرب در سینوس ۵۵ درجه = ۲۶ متربر ثانیه ضرب در ۰/۸۱۹ = ۲۱/۳ متر بر ثانیه

وقتی توپ، پای بازیکن رو ترک میکنه، با سرعت ۲۱/۳ متر بر ثانیه در جهت عمودی حرکت میکنه (v_V مساوی ۲۱/۳ متر بر ثانیه).

حالا v_H رو حساب کنید. یادتون باشه که v_H، سمت موافق مثلث قائم الزاویه ست.

۴- جدول متغیر هارو تشکیل بدین و تابع مثلثاتی رو انتخاب کنید.

θ = پنجاه و پنج درجه

وتر = v_{TO مساوی ۲۶ متر بر ثانیه}

موافق =  v_H، نامعلوم

۵- از SOH CAH TOA و کوسینوس تتا مساوی موافق بر وتر، استفاده کنید، مقدار نامعلوم یا سمت موافق رو منزوی کنید، مقادیر معلوم رو جایگزین و حل کنید.

موافق = وتر ضرب در کوسینوس تتا = ۲۶ متر بر ثانیه ضرب در کوسینوس ۵۵ درجه = ۲۶ متربر ثانیه ضرب در ۰/۵۷۱ = ۱۴/۹ متر بر ثانیه

وقتی توپ، پای بازیکن رو ترک میکنه، با سرعت ۱۴/۹ متر بر ثانیه در جهت افقی حرکت میکنه (v_H مساوی ۱۴/۹ متر بر ثانیه).

بعضی وقتا، سرعت های عمودی و افقی به عنوان توضیحات حرکت پرتابه ای داده میشه. تو این موارد، میتونین از مراحلی که گفته شد رد شین و مستقیم برید به مرحله بعد.

حالا، یه شلجم بکشین که نشون دهنده حرکت پرتابه ای ه و چیزایی که میدونین رو جایگزین و چیزایی که نمیدونید رو در شکل ۸-۵ بکشید. مقادیر معلوم تو این مساله داده شده (که v_V مساوی صفر متر بر ثانیه در پیک ارتفاعه).

شکل ۸-۵: شکل پرواز شلجمی توپ با مقادیر معلوم و مورد نیاز مشخص شده

یه پرتابه همزمان هم در جهت های افقی و هم عمودی حرکت میکنه. اول ویژگی های حرکت عمودی و سپس حرکت افقی رو همونطور که تو بخش های بعدی گفته شده، حساب کنید.

حرکت عمودی پرتابه

با نادیده  گرفتن مقاومت هوا, شتاب ثابت در جهت عمودی از جاذبه -۱۰ m/s/s نشون دهنده شتاب ثابت پرتابه ست. وقتی داره بالا میره، بدن توسط شتاب، سرعتش کم میشه (علامت سرعت و شتاب عکس همه). موقع پایین اومدن، بدن سرعت میگیره (علامت سرعت و شتاب عکس همه). توصیف های حرکت عمودی پرتابه شامل این میشه که بدن چقدر بالا میره (h_flight)، چه مدت زمانی طول میکشه که به پیک ارتفاعش برسه (t_up)، چقدر طول میکشه که بیوفته (t_down)، و مدت زمان در هوا بودن (t_air، جمع t_up وt_down).

حساب میکنم که توپ چقدر بالا میره (h_flight) و ازش برای حساب کردنh_peak استفاده میکنم. بعدشt_up وt_down رو حل میکنم و ازشون واسه حساب کردن t_air که t_{up به اضافه} t_down ست استفاده میکنم. تو هر قسمت، بهتون میگم که چجوری فرمول های شتاب ثابت رو با استفاده از h_flight به کار بگیرید.

۱- چیزی که ازتون خواستن حل کنید رو مشخص کنید، h_flight.

۲- جدول متغیر ها رو تشکیل بدین (u, v, p, a و t)، و مقادیر معلوم و نامعلوم رو پر کنید.

u مساوی v_V مساوی ۲۱/۳ متر بر ثانیه (قبلا حساب شده)

v مساوی v_Vpeak مساوی ۰ متر بر ثانیه (سرعت عمودی همیشه از پیک ارتفاع، صفره)

p مساوی h_flight، که مقدارش نامعلومه.

a مساوی -۱۰ m/s/s (شتاب جاذبه ای)

t که مقدارش نامعلومه اما نخواستنش.

۳- فرمول شتاب ثابت که سه مقدار معلوم و یه مقدار نامعلوم لیست شده در جدول متغیر هارو به هم وصل میکنه رو انتخاب، مقدار نامعلوم رو منزوی، مقادیر معلوم رو جایگزین و حل کنید.v² = u² + 2ap رو انتخاب کنید (چون t نامعلومه).

مقدار v² مساوی صفر قرار بدین، p رو منزوی کنین، مقادیر معلوم رو جایگزین، و فرمول رو حل کنید:

توپ، تا ۲۲/۷ متر بالای نقطه رهایی میره.
۴- عبارت h_peak مساوی h_r + h_flight رو حساب کنید که میشه h_peak مساوی ۲۲/۷ + ۰/۷ که مساوی ۲۳/۴ ه.
توپ، تو پیک ارتفاعش، ۲۳/۴ متر بالای سطح زمینه.

همین مراحل رو برای محاسبه زمان رسیدن به پیک ارتفاع، طی کنید. برای حساب کردن t_up:
۱- جدول متغیر ها رو تشکیل بدین (u, v, p, a و t)، و مقادیر معلوم و نامعلوم رو پر کنید.

u مساوی v_V مساوی ۲۱/۳ متر بر ثانیه

v مساوی v_Vpeak مساوی ۰ متر بر ثانیه

p که مقدارش نامعلومه اما نخواستنش
a مساوی -۱۰ m/s/s (شتاب جاذبه ای)
t مساوی t_up که مقدارش نامعلومه و قراره حسابش کنیم 
۲- فرمول شتاب ثابت، که سه مقدار معلوم و یک مقدار نامعلوم لیست شده در جدول متغیر هارو، به هم وصل میکنه رو انتخاب کنید، مقدار نامعلوم رو منزوی کنید، مقادیر معلوم رو جایگزین و حل کنید.
v = u + at رو انتخاب کنید (چون p نامعلومه)
v به توان دو رو مساوی سفر قرار بدین، t رو منزوی کنین، مقادیر معلوم رو جایگزین و فرمول رو حل کنین:
t مساوی u- تقسیم بر a که مساوی ۲۱/۳- متر بر ثانیه تقسیم بر ۱۰- متر بر ثانیه بر ثانیه ست که مساوی ۲/۱ ثانیه میشه
۲/۱ ثانیه طول میکشه تا توپ به پیک ارتفاعش برسه.
این مراحل رو برای مدت زمان افتادن توپ طی کنین. برای حساب کردن t_down:

۱- جدول متغیر ها رو تشکیل بدین (u, v, p, a و t)، و مقادیر معلوم و نامعلوم رو پر کنید.

u مساوی v_Vpeak مساوی ۰ متر بر ثانیه (توپ وقتی به پیک ارتفاعش رسید، شروع به افتادن میکنه)

v که مقدارش نامعلومه اما نخواستنش

p مساوی h_peak مساوی ۲۳/۴- متر (توپ میوفته، پس جابجایی در جهت - هست)

a مساوی -۱۰ m/s/s (شتاب جاذبه ای)

t مساوی t_down که مقدارش نامعلومه و قراره حسابش کنیم 
۲- فرمول شتاب ثابت، که سه مقدار معلوم و یک مقدار نامعلوم لیست شده در جدول متغیر هارو، به هم وصل میکنه رو انتخاب کنید، مقدار نامعلوم رو منزوی کنید، مقادیر معلوم رو جایگزین و حل کنید.
فرمول p مساوی u در t به علاوه نصف a در (t به توان دو) استفاده کنید (چون v نامعلومه).
u رو مساوی صفر قرار بدین، t رو منزوی کنید، مقادیر معلوم رو جایگزین کنید و فرمول رو حل کنید:

۲/۲ ثانیه طول میکشه تا توپ از پیک ارتفاعش به زمین بیوفته.
از انجایی که t_air = t_up + t_{down، مقادیر حساب شده و جایگزین و حل کنید:}
t_air مساوی ۲/۱ ثانیه + ۲/۲ ثانیه مساوی ۴/۳ ثانیه. از این مقدار برای محاسبه حرکت افقی توپ در بخش بعدی استفاده کنید.

حرکت افقی پرتابه
در جهت افقی (با نادیده گرفتن مقاومت هوا، شتاب ثابت، ۰ m/s/s است) هیچ تغییری در حرکت افقی بدن ایجاد نمیشه. شتاب ثابت ۰ m/s/s، اجازه استفاده از فرمول های شتاب ثابت رو برای حل توضیح دهنده های حرکت افقی میدن. مراحلی که برای حل توضیح دهنده های عمودی استفاده کردیم و میتونیم برای افقی اش هم استفاده کنیم. یه مثال برای دامنه یا جابجایی افقی یه توپ که از سطح زمین حرکت میکنه رو میگم.
برای حل دامنه یا جابجایی افقی:
۱- جدول متغیر ها رو تشکیل بدین (u, v, p, a و t)، و مقادیر معلوم و نامعلوم رو پر کنید.

u مساوی v_H مساوی ۱۴/۹ متر بر ثانیه (بخش افقی v_TO)

v که مقدارش نامعلومه اما نخواستنش

p مساوی دامنه که مقدارش نامعلومه و قراره حسابش کنیم 
a مساوی ۰ m/s/s (با نادیده گرفتن مقاومت هوا)
t مساوی t_air مساوی ۴/۳ ثانیه (که قبلا با بخش عمودی حساب شده بود)    
۲- فرمول شتاب ثابت، که سه مقدار معلوم و یک مقدار نامعلوم لیست شده در جدول متغیر هارو، به هم وصل میکنه رو انتخاب کنید، مقدار نامعلوم رو منزوی کنید، مقادیر معلوم رو جایگزین و حل کنید.

فرمول p مساوی u در t به علاوه نصف a در (t به توان دو) استفاده کنید (چون v نامعلومه).

a رو مساوی صفر قرار بدین، مقادیر معلوم رو جایگزین کنید و معادله رو حل کنین:

p مساوی (۱۴/۹ متر بر ثانیه)(۴/۳ ثانیه) + نصف (۰)(۴/۳ ثانیه به توان دو) مساوی ۶۴/۱ متر

توپ، دامنه یا جابجایی افقی ۶۴/۱ متری داره.