۱۳۹۶ اردیبهشت ۳۰, شنبه

۳ - زاویه جدید نیوتون: مدل های زاویه ای قوانین نیوتون

قوانین حرکت نیوتون (فصل ۶ را ببینید) توضیح میدن که یه نیروی نامتعادل سبب شتاب یه بدن میشن، که قدر شتاب، متناسب با قدر و جهت نیروی نامتعادله و به صورت برعکس متناسب با جرم بدنه، و اینکه نیروهای مساوی در مقدار و خلاف جهت، به دو بدنی که باهم تعامل دارن وارد میشن، تا تولید نیرو کنن. در بسیاری از حرکات انسانی، جرم بدن ثابت میمونه، و فقط حرکت بدن تغییر میکنه.
گشتاور (فصل ۸ رو ببینید) اثرچرخشی یه بدنی. اگه یه نیروی وارد شده از درون محور چرخش مشخص شده، نگذره، نیرو یه بازوی مومنت، دور محور داره و یه گشتاور رو روی بدن ایجاد میکنه. وقتی بیشتر از یه گشتاور، در یه مهر عمل کنن، محاسبه مجموع گشتاور ها در محور (ΣTaxis) نشون میده که یه گشتاور نامتعادل (ΣTaxis ۰، فصل ۸ رو برای محاسبه مجموع گشتاور ببینید) دور محور وجود داره. قوانین حرکت نیوتون، تاثیر یه گشتاور نامتعادل روی حرکت زاویه ای یه بدن رو توضیح میدن.
دو نکته اصلی موقع نگاه کردن به قوانین نیوتون برای حرکت زاویه ای، اینه که مومنت اینرسی - مقاومت در برابر تغییر حرکت زاویه ای - لزوما برای یه بدن، ثابت نیست، و یه نیرو باید یه بازوی مومنت داشته باشه تا بتونه روی یه بدن، تاثیر بگذاره. در بخش های بعدی، قوانین حرکت زاویه ای نیوتون رو توضیح میدم.
حفظ مومنتوم زاویه ای: قانون اول نیوتون
قانون اول نیوتون، که به قانون حفظ مومنتوم زاویه ای شناخته میشه، مشخص میکنه که یه گشتاور خارجی نامتعادل، سبب یه تغییر در مومنتوم زاویه ای یه بدن میشه. مومنتوم زاویه ای، محصول مومنت اینرسی (I) و سرعت زاویه ای (ω)ه، یا H =  (که قبلا توضیح داده شد). براساس قانون اول نیوتون:
یه بدن، به چرخش در محورش با یه مقدار ثابت مومنتوم زاویه ای ادامه میده، مگر اینکه تحت تاثیر یه گشتاور خارجی نامتعادل قرار بگیره.
H یه بدن چرخنده، در غیاب یه گشتاور خارجی نامتعادل، ثابت میمونه. اما حرکت زاویه ای یه بدن چرخنده میتونه با یه گشتاور خارجی تغییر کنه.
حرکت زاویه ای، توضیح میده که یه بدن چقدر تند و در چه جهتی میچرخه، سرعت زاویه ایش (ω). مقاومت به تغییر حرکت زاویه ای، مومنت اینرسی (I)ه. با اینکه H =  بدون یه گشتاور خارجی ثابت باقی میمونه، چون I میتونه با جابجایی جرم در محور چرخش، تغییر کنه، سرعت زاویه ای یه بدن میتونه بدون یه گشتاور خارجی نامتعادل، تغییر کنه. این با حالت خطی فرق داره، که توش یه بدن شتاب میگیره، سرعت میگیره یا حرکت خطش رو کم میکنه، فقط به خاطر یه نیروی خارجی نامتعادل. جرم ثابت میمونه.
سرعت زاویه ای (ω) یه بدن لازم نیست که در غیاب یه گشتاور نامتعادل، ثابت بمونه. این مومنتوم زاویه ای (H)، محصول مومنت اینرسی (I) و سرعت زاویه ای (ω)ه که در غیاب یه گشتاور نامتعادل، محافظت میشه.
چندتا از شفاف ترین مثال های قانون اول نیوتون برای حرکت زاویه ای توی جاهایی که شامل یک (یا بیشتر) چرخش کل-بدن، در حالی که اجرا کننده توی هواست، میشه. شیرجه یه مثاله. شکل ۳-۱۰ موقعیت های بدن شیرجه زنی رو در نقاط مختلف، حین احرای یه سامرسالت یک-و-یک-نصف، از زمانی که شیرجه زن تخته رو ترک میکنه (a) تا وقتی که دستاش به آب میرسن (f). زیر موقعیت های بدن، مومنتوم شیرجه زن (H)، مومنت اینرسی (I)، و سرعت زاویه ای (ω) توی هوا رو کشیدم.
شکل ۳-۱۰: مومنتوم زاویه ای، وقتی شیرجه زن توی هواست، ثابت میمونه.
بین ترک تخته و تماس با آب، شیرجه زن یه پرتابه ست (فصل ۵ رو ببینید). تنها نیروی خارجی که روی شیرجه زن عمل میکنه، وزن بدنه، که در مرکز ثقل شیرجه زن اعمال میشه (تقریبا در سطح کمر، فصل ۹ رو ببینید). همه نیروهای درون شیرجه زن، نیروهای درونی هستن، و حرکت شیرجه زن به عنوان یه پرتابه رو تحت تاثیر قرار نمیدن (در مورد نیروهای داخلی در فصل ۴ بخوانید).
هنگامی که شیرجه زن توی هواست، مرکز ثقل، محور چرخش برای سامرسالت روبروه. چون وزن بدن شیرجه زن در مرکز ثقل اعمال میشه، به عنوان یه نیروی میانی حساب میشه و گشتاور خارجی ای برای تغییر مومنتوم زاویه ای شیرجه زن ایجاد نمیکنه. این موقعیت برای هر اجرای توی هوا صدق میکنه و پرتابه حساب میشه که هیچ ترک خارجی ای اعمال نمیشه. مطابق قانون اول نیوتون برای حرکت زاویه ای، بدون گشتاور خارجی روی پرتابه، مومنتوم زاویه ای در کل زمان در هوا بودن، ثابت میمونه.
شکل آ۳-۱۰ نشون میده که یه شیرجه زن تخته رو در موقعیت باز با I مساوی ۱۵ کیلوگرم در متر مربع و ω مساوی ۲ رادیان بر ثانیه، برای H مساوی ۳۰ کیلوگرم مترمربع بر ثانیه ترک میکنه. 
در حالیکه شیرجه زن داره تو هوا، به اوج میره (بین شکل های آ۳-۱۰ و سی۳)، شیرجه زن یه تاک اجرا میکنه، و دستها و پاهاش رو کنار بدنش میاره. با نزدیک کردن بخش ها به بدن، جرم شیرجه زن به محور چرخش، در مرکز ثقل، نزدیک میشه و I هم از ۱۵ کیلومتر مترمربع در حالت باز به ۴/۰ کیلومتر مترمربع در حالت تاک، کاهش پیدا میکنه. همه گشتاورهای ماهیچه برای نزدیک کردن بخش های تکی به بدن، حین تاک، برای شیرجه زن، داخلی هستن و H کل شیرجه زن رو تحت تاثیر قرار نمیدن. H حین تاکینگ، ۳۰/۰ کیلومتر مترمربع باقی میمونه.
چون قانون اول نیوتون تاکید میکنه که مومنتوم باید ثابت بمونه، سرعت زاویه ای شیرجه زن، همونجوری که I حین حرکت تاکینگ کاهش پیدا میکنه، زیاد بشه. میتونین سرعت زاویه ای شیرجه زن زمانی که در موقعیت تاک کامله رو با دونستن مومنتوم زاویه ای محفوظه، به صورت زیر حساب کنین:
۱. مقادیر معلوم رو مشخص و یه جدول متغیر درست کنید.
 H (تکانه زاویه ای) = ثابت در ۳۰/۰ کیلوگرم مترمربع (قانون اول نیوتون)
Id (مومنت اینرسی شیرجه زن) = ۴/۰ کیلوگرم . متر مربع
ω(سرعت زاویه ای شیرجه زن) = نامعلوم، باید حل بشه
۲. فرمول H =  را انتخاب، نامعلوم رو منزوی، و مقادیر داده شده رو جایگزین کنید.
ω مساوی H تقسیم بر I مساوی ۳۰ کیلوگرم مترمربع تقسیم بر ۴/۰ کیلوگرم مترمربع مساوی ۷/۵ رادیان بر ثانیه

سرعت زاویه ای شیرجه زن به ۷/۵ رادیان بر ثانیه افزایش پیدا میکنه وقتی وی در موقعیت تاکه. سرعت زاویه ای در ۷/۵ رادیان بر ثانیه باقی میمونه تا زمانی که شیرجه زن در موقعیت تاکد باقی میمونه و I ش رو در ۴/۰ کیلوگرم . متر مربع نگه میداره، همونطور که در شکل ۳-۱۰ بین c و d نشون داده شده. تکانه زاویه ای هم در۳۰/۰ کیلوگرم مترمربع میمونه.
برای اینکه شیرجه زن با سر، در موقعیت باز و با بازوهای بالای سر وارد آب بشه، و باید آن-تاک کنه. همه گشتاورهای ماهیچه برای تغییر موقعیت بدن به حالت باز، برای شیرجه زن داخلی هستن. فقط وقتی که شیرجه زن تاکینگ میکرد، این گشتاورهای داخلی H کل شیرجه زن رو تحت تاثیر قرار نمیدن.
حین آن-تاکینگ، همونطور که جرم های بخش، از محور چرخش دور میشن، I زیاد میشه. چون  I زیاد میشه، ω کم میشه.موقعیت شیرجه زن رو بین موقعیت های d و e حین آن-تاکینگ در نظر بگیرین. همونطور که از ۴/۰ کیلوگرم مترمربع در d به ۹/۰ کیلوگرم مترمربع در e میرسه، ω هم از ۷/۵ رادیان بر ثانیه به ۳/۲ رادیان بر ثانیه میرسه.
برای محاسبه I شیرجه زن وقتی H ثابته و ω معلومه، بگید بین e و f وقتی که ω هست ۲/۲ رادیان بر ثانیه، از مراحل زیر استفاده کنید:
۱. مقادیر معلوم رو مشخص و یه جدول متغیر درست کنید.
 H (تکانه زاویه ای) = ثابت در ۳۰/۰ کیلوگرم مترمربع (قانون اول نیوتون)
Id (مومنت اینرسی) = نامعلوم، باید حل بشه
ω(سرعت زاویه ای) = ۲/۲ رادیان بر ثانیه
۲. فرمول H =  را انتخاب، نامعلوم رو منزوی، و مقادیر داده شده رو جایگزین کنید.
I مساوی H تقسیم بر ω مساوی ۳۰ کیلوگرم مترمربع بر ثانیه تقسیم بر ۲/۲ رادیان بر ثانیه مساوی ۱۳/۶ کیلوگرم مترمربع
مومنت اینرسی باید ۱۳/۶ کیلوگرم مترمربع باشه تا شیرجه زن، سرعت زاویه ای ۲/۲ رادیان بر ثانیه داشته باشه.
تکانه زاویه ای وقتی هیچ گشتاور خارجی ای روی پرتابه عمل نکنه، ثابت میمونه. وقتی توی هواست، تکانه زاویه ای دیگه ای کسب نمیشه، و هیچ تکانه زاویه ای ای هم از دست نمیره. شیرجه زن فقط میتونه از گشتاور های داخلی ماهیچه برای جابجایی بخش های بدن و دستکاری I استفاده کنه، که سبب یه تغییر در سرعت زاویه ای بدن چرخان شیرجه زن میشه.
تغییر مومنتوم زاویه ای: قانون دوم نیوتون
قانون دوم نیوتون برای حرکت زاویه ای، توضیح میده که یه ترک خارجی نامتعادل، با مومنتوم زاویه ای یه بدن، چیکار میکنه:
یه ترک خارجی نامتعادل که روی یه بدن اعمال میشه، سبب یه تغییر در مومنتوم زاویه ای بدن، با مقداری متناسب با گشتاور نامتعادل، و در جهت گشتاور نامتعادل، و به صورت برعکس، متناسب با مومنت اینرسی بدن میشه.
ریاضی وار، این قانون رو به صورت ساده میشه به صورت ΣTaxis مساوی Iaxis αaxis نوشت که توش ΣTaxis گشتاور خالص (مجموع گشتاور های خارجی روی بدن) دور یه محور خاصه، Iaxis مومنت اینرسی بدن، دور یه محور خاصه، و αaxis شتاب زاویه ای بدن، دور یه محور خاصه.     
یه گشتاور نامتعادل یعنی گشتاور خالص، صفر نیست، یا ΣTaxis مساوی با صفر نیست (فصل ۸ رو ببینید). یه گشتاور خارجی نامتعادل، سبب شتاب گیری زاویه ای بدن میشه. این سبب تغییر سرعت زاویه ای (ω) میشه، که مومنتوم زاویه ای () رو هم تغییر میده.
فرمول ΣTaxis مساوی Iaxis αaxis یه گشتاور نامتعادل رو به شتاب زاویه ای ربط میده، اما قانون میگه که گشتاور نامتعادل سبب یه تغییر در مومنتوم زاویه ای یه بدن میشه. برای روشن کردن این، تعریف ریاضی وار شتاب زاویه ای، α مساوی Δω تقسیم بر Δt (فصل ۹ رو ببینید)، رو توی فرمول بگذارید:
ΣT مساوی Iα مساوی I در Δω تقسیم بر Δt مساوی ωf - ωi تقسیم بر  Δt مساوی f - Iωi تقسیم بر Δt.
این نشون میده که گشتاور نامتعادل، مومنتوم زاویه ای () یه بدن رو تغییر میده. در ادامه فصل، دوباره به گشتاور نامتعادل و تغییری که تو مومنتم زاویه ای ایجاد میکنه میپردازم.
شکل ۴-۱۰ یه شیرجه زن حین پوش-آف از یه سکو برای اجرای یه سامرسالت جلو و روبرو رو نشون میده. مومنت اینرسی (I) دور مرکز ثقل (C of G) شیرجه زن (محور چرخش)، ۱۵ کیلوگرم در متر مربع در این موقعیته. شیرجه زن، سکو رو به پایین و عقب فشار میده، و سکو هم ۵۵۰ نیوتون (FV) رو به بالا و ۵۰ نیوتون (FH) رو به جلو به شیرجه زن وارد میکنه. مومنت بازو (MA) هر نیرو دور مرکز ثقل، روی شکل نشون داده شدن (MA در فصل ۸ توضیح داده شده). MA برای FV برابر ۰/۵ متر و MA برای FH برابر ۰/۶ متره. برای محاسبه شتاب زاویه ای (α) شیرجه زن در مرکز ثقل، گشتاور خالص، در مرکز ثقل شیرجه زن رو حساب میکنم و این مقدار رو در فرمول ΣTaxis مساوی Iaxis αaxis برای محاسبه شتاب زاویه ای قرار میدم. با محاسبه گشتاور خالص (ΣTCofG) روی شیرجه زن، با استفاده از T = F × MA برای محاسبه گشتاور ها از FV و FH (فصل ۸ رو ببینید) شروع کنید:
شکل ۴-۱۰: نیروهای خارجی در پاهای شیرجه زن سبب ایجاد یه شتاب زاویه ای میشن.
با اینکه وزن بدن شیرجه زن، یه نیروی خارجیه، در مرکز ثقل شیرجه زن اعمال میشه، که همون محور چرخشه. وزن بدن نسبت به محور چرخش، مرکزی حساب میشه، پس گشتاوری در مرکز ثقل ایجاد نمیکنه.
۱. مقادیر معلوم رو مشخص و یه جدول متغیر درست کنید.
TFV(گشتاور از نیروی عمودی) = نامعلوم، باید حساب بشه
(نیروی عمودی) = ۵۵۰ نیوتون
MAFV (مومنت بازوی FV) مساوی ۰/۵ متر
۲. فرمول T = F × MA رو انتخاب، مقدار نامعلوم از قبل منزوی شده، و مقادیر معلوم رو جایگزین کنید.
T مساوی ۵۵۰+ نیوتون در ۰/۵ متر مساوی ۲۷۵ نیوتون متر

گشتاور FV همون ۲۷۵ نیوتون متره، که تمایل داره که شیرجه زن رو به جلو در جهت ساعتگرد (CW) بچرخونه. جهت CW ، یه جهت منفی برای گشتاوره، پس TFV مساوی ۲۷۵- نیوتون متره.
از مراحل مشابه برای محاسبه گشتاور ناشی از FH استفاده کنید:
۱. مقادیر معلوم رو مشخص و یه جدول متغیر درست کنید.
TFH (گشتاور ناشی از نیروی افقی) = نامعلوم، باید حل بشه.
FH (نیروی افقی) = ۲۰ نیوتون
MAFV (که مومنت بازوی FV هست) = ۰/۶ متر
۲. فرمول T = F × MA رو انتخاب، مقدار نامعلوم از قبل منزوی شده، و مقادیر معلوم رو جایگزین کنید.
T مساوی ۲۰+ نیوتون در ۰/۶ متر مساوی ۱۲ نیوتون متر
گشتاور ناشی از FH دوازده نیوتون متره، که تمایل داره شیرجه زن رو به عقب و خلاف جهت ساعت (CCW) بچرخونه. جهت CCW، جهتی مثبت برای گشتاوره، پس TFH مساوی ۱۲+ نیوتون متره.

شتاب زاویه ای شیرجه زن دور مرکز ثقل رو محاسبه کنید:
۱. مقادیر معلوم رو مشخص و یه جدول متغیر درست کنید.
ΣTCofG مساوی TFV + TFH مجموع گشتاور های دور مرکز ثقل
TFV (گشتاور ناشی از نیروی عمودی) مساوی ۲۷۵- نیوتون متر
TFH (گشتاور ناشی از نیروی افقی) مساوی ۱۲+ نیوتون متر
ICofG (مومنت اینرسی دور مرکز ثقل) مساوی ۱۵ کیلوگرم در متر مربع
αCofG (شتاب زاویه ای دور مرکز ثقل) که نامعلومه و باید حل بشه.
۲. فرمول TCofG مساوی ICofGαCofG رو انتخاب، مقدار نامعلوم رو منزوی، مقادیر داده شده رو جایگزین، و حل کنید.
αCofG مساوی TCofG تقسیم بر ICofG مساوی TFV + TFH تقسیم بر ICofG
مساوی (۲۷۵- نیوتون متر به علاوه ۱۲+ نیوتون متر) تقسیم بر ۱۵ کیلوگرم مترمربع مساوی ۲۶۲- نیوتون متر تقسیم بر ۱۵ کیلوگرم مترمربع مساوی ۱۷/۵- رادیان/ثانیه/ثانیه
شتاب زاویه ای شیرجه زن، دور مرکز ثقل در این موقعیت، حین پوش آف ۱۷/۵- رادیان/ثانیه/ثانیه است. علامت منفی نشون دهنده CCW یا به سمت جلو، جهت شتاب زاویه ایه. توجه کنین که شتاب زاویه ای با رادیان/ثانیه/ثانیه محاسبه میشه و نه درجه/ثانیه/ثانیه.
نیوتون/کیلوگرم در متر مربع به صورت زیر، به رادیان بر ثانیه بر ثانیه ختم میشه:
نیوتون متر/کیلوگرم در متر مربع مساوی (کیلوگرم x متر/ثانیه/ثانیه) بر کیلوگرم x متر x متر مساوی (کیلوگرم x متر x متر/ثانیه/ثانیه) بر کیلوگرم x متر x متر
کیلوگرم x متر x متر، حذف میشه و از /ثانیه/ثانیه جدا میشه. وارد کردن رادیان (rad) به عنوان یه مقدار بدون بعد، که اندازه گیری های خطی رو به زویه ای مربوط میکنه (فصل ۹ رو ببینید)، منجر به رادیان/ثانیه/ثانیه میشه.

مساوی اما مخالف: قانون سوم نیوتون
یه نیروی اکسنتریک زمانی رخ میده که خط اثر یه نیروی خارجی، از میان محور چرخش مشخص نگذره و نیروی خارجی، گشتاور ی رو در محور ایجاد کنه (فصل ۸ رو ببینید). وقتی نیتی خارجی، یه نیروی ماهیچه ای باشه، گشتاوری رو در مفصل ایجاد میکنه، که مقدارش مساوی و در خلاف جهتِ بخش های که در اون مفصل به هم میرسن، هست. قانون سوم نیوتون برای حرکت زاویه ای، توضیح گشتاور های روی دو بدن یا بخش رو به صورت زیر خلاصه میکنه:
وقتی یه نیروی خارجی تکی، گشتاوری رو روی دو بدن (که محور چرخش یکسانی دارن) ایجاد میشه، گشتاوری روی یه بدن، مساوی در مقدار و در خلاف جهت گشتاور، روی بدن دیگه ست.
رهبر هوراکشانی که تو شکل ۵-۱۰ نشون داده شده رو در نظر بگیرین. رهبر هوراکشان صاف میپره بالا، و زمین رو در یه موقعیت صاف (a) ترک میکنه و به جلو خم میشه تا انگشت های پاهاش رو لمس کنه (b). بخش های پایینی و بالایی بدن رهبر هوراکشان، همونطوری که به جلو و در محور مشخص "خم" میشه، به سمت هم حرکت میکنن. هم قسمت بالایی و هم قسمت پایینی بدن میچرخن.
شکل ۵-۱۰: گشتاور های مساوی در مقدار و مخالف در جهت، دو بخش رهبر هوراکشان رو میچرخونه.
مدل لینک بخش در قسمت پایینی شکل ۵-۱۰ نشون میده که چجوری قانون سوم نیوتون، روی رهبر هوراکشان اعمال میشه. یه مستطیل کشیدم که نماینده پایین تنه (یه مدل لینک بخش خیلی ساده) ست. مستطیل دیگه نماینده مومنت های اینرسی (I) هستن. I بالا تنه بزرگتر از I پایین تنه ست، چون جرم بیشتری داره و دور تر از محور چرخشه.ماهیچه هایی که از جلو باسن ها رد میشن، گشتاوری رو در دو بخش رهبر هوراکشان ایجاد میکنن. گشتاور اعمال شده روی بالا تنه دارای مقدار برابر اما در جهت مخالف گشتاور اعمال شده روی پایین تنه ست. گشتاور روی بالا تنه سبب چرخش ساعتگرد (CW) میشه. گشتاور روی پایین تنه سبب چرخش در خلاف جهت ساعتگرد (CCW) میشه.
تاثیر گشتاور مساوی اما مخالف به صورت یه تغییر در موقعیت هر بخش، دیده میشه. بالا تنه، با یه بزرگتر، زیاد در جهت ساعتگرد (CW)، به اندازه پایین تنه، با یه I کوچکتر، در خلاف جهت ساعتگرد (CCW) نمیچرخه.

هیچ نظری موجود نیست:

ارسال یک نظر